Tích vectơ

Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải

Trong toán học, phép tích vectơ hay nhân vectơ hay tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (phép toán kia là nhân vô hướng). Nó khác nhân vô hướng ở chỗ là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng. Kết quả này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ đầu vào của phép nhân.

Định nghĩa

Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải.

Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay $[{\vec {a}},{\vec {b}}]$, định nghĩa bởi:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta$

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Tính chất

Phép tính này phản giao hoán:

a × b = -(b × a)

Nó phân phối được trên phép cộng vectơ:

a × (b + c) = a × b + a × c

Nó kết hợp được với nhân vô hướng:

(r.a) × b = a × (r.b) = r.(a × b).

với "." chỉ nhân vô hướng.

Nó không có tính kết hợp,

(a × b) × c$\neq$a × (b × c)

(Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)

Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

2 vectơ không cùng phương thì tích có hướng là một vectơ vuông góc với 2 vectơ đã cho.

Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie.

Tích có hướng trong hệ tọa độ Descartes

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ${\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ và ${\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})$, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

$[{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})$

Ứng dụng

Ý nghĩa hình học

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

• Diện tích hình bình hành ABCD: $S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)$
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D': $V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert$
• 2 vector ${\vec {u}}$ và ${\vec {v}}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $[{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}$
• 3 vector ${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$, ${\vec {w}}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow$ $[{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0$

Ứng dụng trong vật lý

Phép tính này xuất hiện ở công thức tính lực Lorentz do một trường điện từ tác động lên một điện tích. Công thức tính mômen lực hay mômen động lượng cũng liên quan đến nhân vectơ.

Xem thêm

• Quy tắc bàn tay phải

Liên kết ngoài

• Vector Cross Product Lưu trữ 2007-09-29 tại Wayback Machine which allows you to cross two 3D vectors. Look under the Vector Cross Product heading. (tiếng Anh)
• Nhân vectơ trong không gian có số chiều lớn hơn 3 Lưu trữ 2015-09-05 tại Wayback Machine chỉ có thể thực hiện trong không gian 7 chiều. (tiếng Anh)
• Tích vectơ Lưu trữ 2016-09-19 tại Wayback Machine trên Từ điển bách khoa Việt Nam