Обернений оператор

поняття у функціональному аналізі

Обернений оператор до оператора  — оператор, який кожному із множини значень оператора ставить у відповідність єдиний елемент із області визначення оператора , який є розв'язком рівняння . Якщо оператор має обернений, тобто рівняння має єдиний розв'язок за будь-якого із , то називають оборотним. Обернений оператор позначають [1].

Якщо a відображає X на Y, то A−1 відображає Y на X

Визначення та умови існування

ред.

Інше визначення: оператор   називають оберненим до оператора  , якщо  , де   — одиничний оператор. Якщо виконується тільки співвідношення   або тільки   то оператор   називають лівим оберненим або правим оберненим відповідно. Якщо оператор   має лівий обернений і правий обернений, то вони рівні між собою, а оператор   є оборотним[2]. Якщо обернений оператор існує, він визначається єдиним чином[3].

Оператор   оборотний, якщо він відображає   на   взаємно однозначно, тобто за різних   набуває різних значень  [4]. Якщо оператор   — лінійний, то для існування оберненого оператора достатньо, щоб   виконувалося тільки при  [5].

Лінійний оператор (навіть обмежений) може мати обернений, визначений не на всьому просторі. Наприклад, у просторі   лінійний оператор

 

має обернений, який визначено для векторів із першою координатою рівною нулю:  [5].

Властивості

ред.
  •  [6]
  •  [3]
  • Оператор  , обернений до лінійного оператора, також лінійний[1].
  •  ,   — спряжений оператор[7].

Теореми про обернений оператор

ред.

Теорема Банаха

ред.

Нехай   — лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає Банахів простір   на Банахів простір  . Тоді обернений оператор   обмежений.

Теорема Банаха є одним з основних принципів лінійного аналізу. З неї випливає теорема про відкрите відображення: лінійне неперервне відображення   Банахового простору   на (всі) Банахові простори   відкрите[8].

Достатня умова існування оберненого оператора

ред.
 

де   — деяка константа. Тоді існує обернений обмежений лінійний оператор  [9].

  • Нехай   — лінійний обмежений оборотний оператор, що діє з Банахового простору   в Банахів простір   і   — лінійний обмежений оператор з   в   такий, що  . Тоді оператор   має обмежений обернений, причому
 [10][11].
  • Нехай   — Банахів простір,   — тотожний оператор в  , а   — такий лінійний обмежений оператор, який відображає   в себе, що  . Тоді оператор   існує, обмежений і подається у вигляді ряду
 [12].

Приклади

ред.

Перетворення Фур'є

ред.
 

можна розглядати як лінійний обмежений оператор, що діє з простору   в себе. Оберненим оператором для нього є обернене перетворення Фур'є

 [13].

Оператори інтегрування та диференціювання

ред.

Для оператора інтегрування

 

який діє в просторі неперервних функцій  , оберненим буде оператор диференціювання:

 

визначений на лінійному многовиді неперервно диференційовних функцій, таких що  [14].

Оператор Штурма — Ліувілля

ред.

Для диференціального оператора Штурма — Ліувілля

 

визначеного на лінійному многовиді двічі неперервно диференційовних функцій таких, що  , оберненим оператором є інтегральний оператор

 

де   — функція Гріна.   — лінійний обмежений оператор у  [14].

Інтегральний оператор

ред.

Нехай

 

— інтегральний оператор у просторі безперервних функцій  . За достатньо малих значень параметра   оператор   (де   — одиничний оператор) має обмежений обернений

 ,

де   — резольвента ядра  . Знаючи резольвенту, можна знайти розв'язок інтегрального рівняння

 

за будь-якого вільного члена  [15].

Обернений оператор у скінченновимірному просторі

ред.

Оператор у скінченновимірному просторі оборотний тоді й лише тоді, коли його ранг збігається з розмірністю простору. Інакше кажучи, визначник його матриці відмінний від нуля. Оберненому оператору відповідає обернена матриця[16].

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. а б Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
  2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
  3. а б Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
  4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
  5. а б Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
  6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
  7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
  8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
  9. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
  10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
  11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
  12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
  13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
  14. а б Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
  15. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
  16. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд. — М. : Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

Література

ред.