Умови Коші — Рімана: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Немає опису редагування |
|||
(Не показані 10 проміжних версій 7 користувачів) | |||
Рядок 18: | Рядок 18: | ||
Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції <math>u</math> і <math>v</math> повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість. |
Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції <math>u</math> і <math>v</math> повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість. |
||
<br /> |
<br /> |
||
[[Голоморфна функція|Голоморфність]] — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини <math>\mathbb C</math> (це називається {{нп|Область(математичний аналіз)|областю||Domain (mathematical analysis)}} в <math>\mathbb C</math>). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція <math>f</math>, дійсні та уявні частини якої відповідно <math>u</math> і <math>v</math> є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння ({{EquationNote|1a}}) і ({{EquationNote|1b}}) задовольняються на всій заданій {{нп|Область(математичний аналіз)|областю||Domain (mathematical analysis)}}. |
[[Голоморфна функція|Голоморфність]] — це властивість [[Комплексна функція|комплексної функції]] бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини <math>\mathbb C</math> (це називається {{нп|Область(математичний аналіз)|областю||Domain (mathematical analysis)}} в <math>\mathbb C</math>). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція <math>f</math>, дійсні та уявні частини якої відповідно <math>u</math> і <math>v</math> є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння ({{EquationNote|1a}}) і ({{EquationNote|1b}}) задовольняються на всій заданій {{нп|Область(математичний аналіз)|областю||Domain (mathematical analysis)}}. |
||
{{нп|Аналітичність голоморфних функцій|Голоморфні функції є аналітичними||Analyticity of holomorphic functions}} і навпаки. |
{{нп|Аналітичність голоморфних функцій|Голоморфні функції є аналітичними||Analyticity of holomorphic functions}} і навпаки. |
||
Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. |
Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією. |
||
Рядок 62: | Рядок 62: | ||
== Історія == |
== Історія == |
||
У [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] умови Коші—Рімана, які названі на честь [[Оґюстен-Луї Коші| |
У [[Комплексний аналіз|комплексному аналізі]] умови Коші—Рімана, які названі на честь [[Оґюстен-Луї Коші|Оґюстена Коші]] та [[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана]], складаються із {{нп |Система диференціальних рівнянь|системи||System of differential equations}} двох [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь з частинними похідними]], які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову [[Голоморфна функція|голоморфності]] (комплексно диференційованості) [[Комплексний аналіз|комплекснозначної функції]]. [[Оґюстен-Луї Коші|Коші]] користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого [[Французька академія наук|Паризькій академії наук]] в [[1814]] р. |
||
Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі [[Жан Лерон д'Аламбер|Жана Лерона д'Аламбера]].<ref name="d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.">d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839. |
Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі [[Жан Лерон д'Аламбер|Жана Лерона д'Аламбера]].<ref name="d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.">d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.</ref>. |
||
⚫ | Пізніше [[Леонард Ейлер]] пов'язав цю систему з [[Аналітична функція|аналітичними функціями]].<ref name="Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.>Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.</ref> |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#cite_note-Alembert1752-1]</ref>. |
|||
⚫ | Потім Коші <ref name=" Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506."> Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.</ref> використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. |
||
⚫ | Пізніше [[ |
||
⚫ | У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.<ref name=" Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48."> Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.</ref> |
||
⚫ | Потім Коші <ref name=" Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506."> Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506. |
||
⚫ | У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.<ref name=" Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48."> Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48. |
||
==Інтерпретація та переформулювання== |
==Інтерпретація та переформулювання== |
||
Рядок 74: | Рядок 73: | ||
===Конформні відображення=== |
===Конформні відображення=== |
||
''Більше інформації'': [[ |
''Більше інформації'': [[Конформне відображення]] |
||
<br /> |
<br /> |
||
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі |
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі |
||
{{NumBlk||<math>{\rm i}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\frac {\partial f}{\partial y}. </math>|{{EquationRef|2}}}} |
{{NumBlk||<math>{\rm i}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\frac {\partial f}{\partial y}. </math>|{{EquationRef|2}}}} |
||
У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що [[ |
У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що [[матриця Якобі]] має вигляд |
||
: <math> |
: <math> |
||
\left(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right), |
\left(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\right), |
||
Рядок 84: | Рядок 83: | ||
де <math>a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y</math> та <math>b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y</math>. |
де <math>a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y</math> та <math>b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y</math>. |
||
Матриця такого вигляду є [[комплексне число|матричним представленням комплексного числа]]. |
Матриця такого вигляду є [[комплексне число|матричним представленням комплексного числа]]. |
||
Геометрично така матриця завжди є [[Композиція функцій|композицією]] [[ |
Геометрично така матриця завжди є [[Композиція функцій|композицією]] [[обертання]] і [[Гомотетія|масштабування]] і, зокрема, зберігає [[Кут|кути]]. |
||
Якобіан функції <math>f(z)</math> бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці <math>z</math> і повертає їх до відповідних відрізків у точці <math>f(z)</math>. |
Якобіан функції <math>f(z)</math> бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці <math>z</math> і повертає їх до відповідних відрізків у точці <math>f(z)</math>. |
||
Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. |
Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині. |
||
Рядок 121: | Рядок 120: | ||
Іншими словами, якщо <math>u</math> і <math>v</math> є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно <math>u + {\rm i}v</math> є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але <math>u + {\rm i}v</math> є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана. |
Іншими словами, якщо <math>u</math> і <math>v</math> є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно <math>u + {\rm i}v</math> є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але <math>u + {\rm i}v</math> є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана. |
||
<br/> |
<br/> |
||
Справді, слідуючи Рудіну,<ref name=" Rudin 1966."> Rudin 1966. |
Справді, слідуючи Рудіну,<ref name=" Rudin 1966."> Rudin 1966.</ref> нехай <math>f</math> — комплексна функція, що визначена на відкритій множині <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math>. |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#CITEREFRudin1966]</ref> нехай <math>f</math> — комплексна функція, що визначена на відкритій множині <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math>. |
|||
Тоді, записавши <math>z = x + {\rm i}y</math> для кожного <math>z \in \Omega</math>, можна розглядати <math>\Omega</math> як відкриту підмножину <math>\mathbb{R}^{2}</math>, і <math>f</math> як функцію двох дійсних змінних <math>x</math> і <math>y</math>, яка відображає <math>\Omega \subset \mathbb{R}^{2}</math> у <math>\mathbb{C}</math>. |
Тоді, записавши <math>z = x + {\rm i}y</math> для кожного <math>z \in \Omega</math>, можна розглядати <math>\Omega</math> як відкриту підмножину <math>\mathbb{R}^{2}</math>, і <math>f</math> як функцію двох дійсних змінних <math>x</math> і <math>y</math>, яка відображає <math>\Omega \subset \mathbb{R}^{2}</math> у <math>\mathbb{C}</math>. |
||
Розглянемо умови Коші—Рімана у точці <math>z = z_{0}</math>. |
Розглянемо умови Коші—Рімана у точці <math>z = z_{0}</math>. |
||
Рядок 145: | Рядок 143: | ||
\frac {{\rm d}{\bar {z}}}{{\rm d}z}+\eta (\Delta z),\quad \Delta z\neq 0. |
\frac {{\rm d}{\bar {z}}}{{\rm d}z}+\eta (\Delta z),\quad \Delta z\neq 0. |
||
</math> |
</math> |
||
Тепер розглянемо потенційні значення <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z</math>, коли границя обчислюється в початку координат. |
Тепер розглянемо потенційні значення <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z</math>, коли границя обчислюється в [[Початок координат|початку координат]]. |
||
Для <math>z</math> вздовж дійсної осі маємо, що <math>\bar{z}=z</math>, а тому <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z=1</math>. |
Для <math>z</math> вздовж дійсної осі маємо, що <math>\bar{z}=z</math>, а тому <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z=1</math>. |
||
Аналогічно для чисто уявного <math>z</math> маємо, що <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z=-1</math>, а тому значення <math>{\rm d} {\bar {z}}/{\rm d}z</math> не добре визначеним в початку координат. |
Аналогічно для чисто уявного <math>z</math> маємо, що <math>{\rm d}{\bar {z}}/{\rm d}z=-1</math>, а тому значення <math>{\rm d} {\bar {z}}/{\rm d}z</math> не добре визначеним в початку координат. |
||
Рядок 166: | Рядок 164: | ||
===Фізична інтерпретація=== |
===Фізична інтерпретація=== |
||
[[File:Contours of holomorphic function.png|thumb|Візуальне зображення вектора <math>X</math> в області, що множиться на комплексне число <math>z</math>, а потім відображається за допомогою функції <math>f</math>, у порівняні, коли вектор спочатку відображається за допомогою функції <math>f</math>, а потім множиться на комплексне число <math>z</math>. |
|||
⚫ | Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,<ref name=" Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes."> Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes. |
||
Якщо в обох випадках отримуємо одну і ту ж кінцеву точку для всіх <math>X</math> і <math>z</math>, то функція <math>f</math> задовольняє умови Коші—Рімана.]] |
|||
⚫ | Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,<ref name=" Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes."> Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.</ref> полягає в тому, що функція <math>u</math> є {{нп|Потенціал швидкості|потенціалом швидкості||Velocity potential}} нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а <math>v</math> — {{нп|функція току|функція току||Potential flow}}. |
||
Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій <math>u</math>, <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана. |
Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій <math>u</math>, <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана. |
||
Розглянемо функцію <math>u</math> як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що [[Швидкість|вектор швидкості]] рідини в кожній точці цієї площини дорівнює [[Градієнт|градієнту]] функції <math>u</math>, визначеному як |
Розглянемо функцію <math>u</math> як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що [[Швидкість|вектор швидкості]] рідини в кожній точці цієї площини дорівнює [[Градієнт|градієнту]] функції <math>u</math>, визначеному як |
||
Рядок 187: | Рядок 187: | ||
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств [[Множина рівня|кривих рівнів]] <math>u=\text{const}</math> і <math>v=\text{const}</math>. |
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств [[Множина рівня|кривих рівнів]] <math>u=\text{const}</math> і <math>v=\text{const}</math>. |
||
Поблизу точок, де градієнт функції <math>u</math> (або, еквівалентно, функції <math>v</math>) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють [[Ортогональність|ортогональне]] сімейство кривих. |
Поблизу точок, де градієнт функції <math>u</math> (або, еквівалентно, функції <math>v</math>) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють [[Ортогональність|ортогональне]] сімейство кривих. |
||
У точках, де <math>\nabla u=0</math> (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для <math>u=\text{const}</math> перетинаються. |
У точках, де <math>\nabla u=0</math> ([[Стаціонарна точка|стаціонарні точки]] течії), еквіпотенціальні криві для <math>u=\text{const}</math> перетинаються. |
||
Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими. |
Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими. |
||
===Гармонічне векторне поле=== |
===Гармонічне векторне поле=== |
||
Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі [[Дьордь Поя|Поя]] та Сего.<ref name=" |
Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі [[Дьордь Поя|Поя]] та Сего.<ref name="Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4."> Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.</ref>. |
||
Нехай функції <math>u</math> і <math>v</math> задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині <math>\mathbb{R}^{2}</math>, розглянемо [[Векторне поле|векторне поле]] |
Нехай функції <math>u</math> і <math>v</math> задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині <math>\mathbb{R}^{2}</math>, розглянемо [[Векторне поле|векторне поле]] |
||
: <math> |
: <math> |
||
Рядок 201: | Рядок 201: | ||
\frac {\partial (-v)}{\partial x}-\frac {\partial u}{\partial y}=0. |
\frac {\partial (-v)}{\partial x}-\frac {\partial u}{\partial y}=0. |
||
</math> |
</math> |
||
Перша умова Коші—Рімана ({{EquationNote|1a}}) стверджує, що задане векторне поле є [[Соленоїдне векторне поле| |
Перша умова Коші—Рімана ({{EquationNote|1a}}) стверджує, що задане векторне поле є [[Соленоїдне векторне поле|соленоїдним]] (його [[Дивергенція (математика)|дивергенція]] дорівнює 0): |
||
: <math> |
: <math> |
||
\frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial (-v)}{\partial y}=0. |
\frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial (-v)}{\partial y}=0. |
||
Рядок 207: | Рядок 207: | ||
Відповідно до [[Теорема Гріна|теореми Гріна]] та [[Формула Остроградського|теореми Остроградського]] таке поле обов'язково є [[Потенціальне векторне поле|потенціальним]], тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. |
Відповідно до [[Теорема Гріна|теореми Гріна]] та [[Формула Остроградського|теореми Остроградського]] таке поле обов'язково є [[Потенціальне векторне поле|потенціальним]], тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок. |
||
(Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в [[Інтегральна теорема Коші|інтегральній теоремі Коші]].) |
(Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в [[Інтегральна теорема Коші|інтегральній теоремі Коші]].) |
||
У [[Гідроаеродинаміка|гідродинаміці]] таке векторне поле є {{нп|поненціальна течія|потенціальною течією||Potential flow}}.<ref name="Chanson, H. (2007). Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050."> Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050. |
У [[Гідроаеродинаміка|гідродинаміці]] таке векторне поле є {{нп|поненціальна течія|потенціальною течією||Potential flow}}.<ref name="Chanson, H. (2007). Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050."> Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.</ref> |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#cite_note-Chanson2007-8]</ref> |
|||
У [[Магнітостатика|магнітостатиці]] такі векторні поля моделюють статичні [[Магнітне поле|магнітні поля]] в області площини, яка не містить струму. |
У [[Магнітостатика|магнітостатиці]] такі векторні поля моделюють статичні [[Магнітне поле|магнітні поля]] в області площини, яка не містить струму. |
||
В [[Електростатика|електростатиці]] вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду. |
В [[Електростатика|електростатиці]] вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду. |
||
Рядок 225: | Рядок 224: | ||
f(x,y)=\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}. |
f(x,y)=\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}. |
||
</math> |
</math> |
||
[[ |
[[Матриця Якобі]] для функції <math>f</math> — це матриця частинних похідних |
||
: <math> |
: <math> |
||
D f(x,y)={\begin{bmatrix}\dfrac {\partial u}{\partial x}&\dfrac {\partial u}{\partial y} \\ \dfrac {\partial v}{\partial x}&\dfrac {\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}}. |
D f(x,y)={\begin{bmatrix}\dfrac {\partial u}{\partial x}&\dfrac {\partial u}{\partial y} \\ \dfrac {\partial v}{\partial x}&\dfrac {\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}}. |
||
</math> |
</math> |
||
Тоді пара функцій <math>u</math> та <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли <math>2\times2</math> матриця <math>Df</math> комутує з матрицею <math>J</math>.<ref name=" Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2."> Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2. |
Тоді пара функцій <math>u</math> та <math>v</math> задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли <math>2\times2</math> матриця <math>Df</math> комутує з матрицею <math>J</math>.<ref name=" Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2."> Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.</ref> |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#cite_note-KobayashiNomizu1969_PropIX22-9]</ref> |
|||
<br/> |
<br/> |
||
Ця інтерпретація корисна в [[Симплектична геометрія|симплектичній геометрії]], де вона є початковою точкою для вивчення [[Псевдоголоморфна крива|псевдоголоморфних кривих]]. |
Ця інтерпретація корисна в [[Симплектична геометрія|симплектичній геометрії]], де вона є початковою точкою для вивчення [[Псевдоголоморфна крива|псевдоголоморфних кривих]]. |
||
Рядок 274: | Рядок 272: | ||
===Теорема Гурса та її узагальнення=== |
===Теорема Гурса та її узагальнення=== |
||
Дивись також: [[Інтегральна теорема Коші|Теорема Коші—Гурса]] |
Дивись також: [[Інтегральна теорема Коші|Теорема Коші—Гурса]] |
||
<br/> |
|||
Нехай <math>f=u+{\rm i}v</math> — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція <math>f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math>. |
Нехай <math>f=u+{\rm i}v</math> — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція <math>f\colon \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2</math>. |
||
Тоді теорема {{нп|Едуард Гурс|Гурса||Edouard Goursat}} стверджує, що функція <math>f</math> є аналітичною у відкритій комплексній області <math>\Omega</math> тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області.<ref name=" Rudin 1966, Theorem 11.2"> Rudin 1966, Theorem 11.2 |
Тоді теорема {{нп|Едуард Гурс|Гурса||Edouard Goursat}} стверджує, що функція <math>f</math> є аналітичною у відкритій комплексній області <math>\Omega</math> тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області.<ref name=" Rudin 1966, Theorem 11.2"> Rudin 1966, Theorem 11.2</ref> |
||
Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції <math>f</math>.<ref name=" Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1."> Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1. |
Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції <math>f</math>.<ref name=" Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1."> Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.</ref> |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#cite_note-Dieudonn%C3%A91969_para910Ex1-11]</ref> |
|||
Умови теореми {{нп|Едуард Гурс|Гурса||Édouard Goursat}} можна значно послабити. |
Умови теореми {{нп|Едуард Гурс|Гурса||Édouard Goursat}} можна значно послабити. |
||
Якщо функція <math>f=u+{\rm i}v</math> є неперервною на відкритій множині [[Часткова похідна|частинні похідні]] від функції <math>f</math> за змінними <math>x</math> і <math>y</math> існують на множині <math>\Omega</math> і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині <math>\Omega</math>, то функція <math>f</math> є голоморфною (і, отже, аналітичною). |
Якщо функція <math>f=u+{\rm i}v</math> є неперервною на відкритій множині [[Часткова похідна|частинні похідні]] від функції <math>f</math> за змінними <math>x</math> і <math>y</math> існують на множині <math>\Omega</math> і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині <math>\Omega</math>, то функція <math>f</math> є голоморфною (і, отже, аналітичною). |
||
Це результат [[Теорема Лумана — Меньшова|теореми Лумана—Меньшова]]. |
Це результат [[Теорема Лумана — Меньшова|теореми Лумана—Меньшова]]. |
||
<br/> |
|||
Умова, що функція <math>f</math> задовольняє умови Коші—Рімана на усій області <math>\Omega</math>, є суттєвою. |
Умова, що функція <math>f</math> задовольняє умови Коші—Рімана на усій області <math>\Omega</math>, є суттєвою. |
||
Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, <math>f(z) = z^5/|z|^4)</math>. |
Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, <math>f(z) = z^5/|z|^4)</math>. |
||
Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад<ref name=" Looman 1923, p. 107."> Looman 1923, p. 107. |
Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад<ref name=" Looman 1923, p. 107."> Looman 1923, p. 107.</ref> |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#cite_note-FOOTNOTELooman1923107-12]</ref> |
|||
:<math> |
:<math> |
||
f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right),& \text{якщо} \ z\not =0,\\ |
f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right),& \text{якщо} \ z\not =0,\\ |
||
Рядок 292: | Рядок 288: | ||
</math> |
</math> |
||
Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці <math>z=0</math>. |
Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці <math>z=0</math>. |
||
<br/> |
|||
Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:<ref name=" Gray & Morris 1978, Theorem 9."> Gray & Morris 1978, Theorem 9. |
Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:<ref name=" Gray & Morris 1978, Theorem 9."> Gray & Morris 1978, Theorem 9.</ref> |
||
[https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Riemann_equations#cite_note-FOOTNOTEGrayMorris1978Theorem_9-13]</ref> |
|||
<br/> |
|||
''Якщо функція <math>f(z)</math> локально інтегрована на відкритій області <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція <math>f</math> майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області <math>\Omega</math>.'' |
''Якщо функція <math>f(z)</math> локально інтегрована на відкритій області <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція <math>f</math> майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області <math>\Omega</math>.'' |
||
<br/> |
|||
Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків |
Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків [[Гіпоеліптичний оператор|гіпоеліптичних]] диференціальних рівнянь з частинними похідними. |
||
===Випадок кількох змінних=== |
===Випадок кількох змінних=== |
||
Рядок 354: | Рядок 349: | ||
Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I, |
Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I, |
||
</math> |
</math> |
||
де <math>Df</math> — матриця Якобі, <math>Df^{\mathsf {T}}</math> — трансформована матриця Якобі, <math>I</math> — одинична матриця.<ref name=" Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32."> Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32. |
де <math>Df</math> — матриця Якобі, <math>Df^{\mathsf {T}}</math> — трансформована матриця Якобі, <math>I</math> — одинична матриця.<ref name=" Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32."> Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.</ref> |
||
У випадку <math>n = 2</math> ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. |
У випадку <math>n = 2</math> ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. |
||
У розмірності <math>n > 2</math> ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з [[теорема Ліувіля|теореми Ліувіля]] випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є [[Перетворення Мебіуса|перетворенням Мебіуса]]. |
У розмірності <math>n > 2</math> ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з [[теорема Ліувіля|теореми Ліувіля]] випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є [[Перетворення Мебіуса|перетворенням Мебіуса]]. |
||
Рядок 367: | Рядок 362: | ||
==Література== |
==Література== |
||
*{{cite journal |last1=Gray |first1=J. D. |last2=Morris |first2=S. A. |date=April 1978 |title=When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic? |journal=The American Mathematical Monthly |volume=85 |issue=4 |pages=246–256 |doi=10.2307/2321164 |jstor=2321164 |
*{{cite journal |last1=Gray |first1=J. D. |last2=Morris |first2=S. A. |date=April 1978 |title=When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic? |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1978-04_85_4/page/246 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=85 |issue=4 |pages=246–256 |doi=10.2307/2321164 |jstor=2321164}} |
||
* {{cite journal |last=Looman |first=H. |date=1923 |title=Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen |journal=Göttinger Nachrichten |pages=97–108 |language=de}} |
|||
}} |
|||
* {{cite |
* {{cite book |last=Rudin |first=Walter |date=1966 |title=Real and complex analysis |publisher=McGraw Hill |publication-date=1987 |edition=3rd |isbn=0-07-054234-1}} |
||
}} |
|||
* {{cite book |last=Rudin |first=Walter |date=1966 |title=Real and complex analysis |publisher=McGraw Hill |publication-date=1987 |edition=3rd |isbn=0-07-054234-1 |
|||
}} |
|||
== Додаткова література == |
== Додаткова література == |
||
*{{cite book |last=Ahlfors |first=Lars |author-link=Ларс Альфорс |date=1953 |publication-date=1979 |title=Complex analysis |edition=3rd |publisher=McGraw Hill |isbn=0-07-000657-1}} |
*{{cite book |last=Ahlfors |first=Lars |author-link=Ларс Альфорс |date=1953 |publication-date=1979 |title=Complex analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysisi00ahlf |edition=3rd |publisher=McGraw Hill |isbn=0-07-000657-1}} |
||
* Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. |
* Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. |
||
* {{cite book |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |date=1983 |publication-date=1984 |title=Complex Analysis |edition=1st |publisher=CUP |isbn=0-521-28763-4}} |
* {{cite book |last1=Stewart |first1=Ian |last2=Tall |first2=David |date=1983 |publication-date=1984 |title=Complex Analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysish0000stew |edition=1st |publisher=CUP |isbn=0-521-28763-4}} |
||
== Зовнішні посилання == |
== Зовнішні посилання == |
||
* {{MathWorld | urlname= Cauchy-RiemannEquations | title= Cauchy–Riemann Equations }} |
* {{MathWorld | urlname= Cauchy-RiemannEquations | title= Cauchy–Riemann Equations }} |
||
* [https://web.archive.org/web/20061209102947/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews] |
* [https://web.archive.org/web/20061209102947/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews] |
||
[[Категорія:Комплексний аналіз]] |
[[Категорія:Комплексний аналіз]] |
||
[[Категорія:Диференціальні рівняння]] |
[[Категорія:Диференціальні рівняння]] |
||
[[Категорія:Гармонічні функції]] |
Поточна версія на 06:12, 29 червня 2024
Математичний аналіз → Комплексний аналіз |
Комплексний аналіз |
---|
Комплексне число |
Комплексні функції |
Основна теорія |
Люди |
Умови Коші—Рімана, або умови Д'Аламбера—Ейлера — умови на дійсну та уявну частини функції комплексної змінної , , що забезпечують нескінченну безперервну диференційовність як функції комплексної змінної.
Математичний аналіз → Комплексний аналіз |
Комплексний аналіз |
---|
Комплексне число |
Комплексні функції |
Основна теорія |
Люди |
Умови Коші—Рімана для пари дійснозначних функцій двох дійсних змінних і є двома рівняннями:
|
|
( ) |
|
|
( ) |
Як правило та вважаються відповідно дійсною та уявною частинами комплекснозначної функції однієї комплексної змінної ,
Нехай функції і є дійснозначними диференційованими в точці відкритої підмножини комплексної площини , які можна розглядати як функції з в .
З цього випливає, що частинні похідні від функцій і існують (хоча вони не обов'язково повинні бути неперервними), а тому можемо лінійно апроксимувати малі варіації функції .
Тоді є комплексно-диференційованою у цій точці тоді й лише тоді, коли частинні похідні функцій та задовольняють рівняння Коші—Рімана (1a) та (1b) у цій точці.
Тут існування частинних похідних, які задовольняють рівнянням Коші—Рімана, не забезпечує комплексної диференційовності: функції і повинні бути дійсними диференційованими, що є більш сильною умовою, ніж існування частинних похідних, але загалом слабшою за неперервну диференційованість.
Голоморфність — це властивість комплексної функції бути диференційованою в кожній точці відкритої та зв'язаної підмножини комплексної площини (це називається областю[en] в ). Отже, можна стверджувати, що комплексна функція , дійсні та уявні частини якої відповідно і є дійсними диференційованими функціями, є голоморфною тоді й лише тоді, коли рівняння (1a) і (1b) задовольняються на всій заданій областю[en].
Голоморфні функції є аналітичними[en] і навпаки.
Це означає, що в комплексному аналізі, функція, яка комплексно диференційована на всій області (голоморфна), співпадає з аналітичною функцією.
Це не вірно для дійсних диференційованих функцій.
Для того, щоб функція , визначена в деякій області комплексної площини, була диференційовна в точці як функція комплексної змінної , необхідно і достатньо, щоб її дійсна і уявна частини і були диференційовними в точці як функції дійсних змінних і і щоб, крім того, в цій точці виконувалися умови Коші—Рімана:
- ;
- .
- ;
Якщо умови Коші—Рімана виконані, то похідна може бути подана в будь-якій з наступних форм:
- Виконання умов Коші—Рімана, на відкритій підмножині є необхідними умовами аналітичності функції.
- Якщо, крім того, часткові похідні неперервні, то функція є аналітичною.
Нехай . Комплекснозначна функція є диференційованою в будь-якій точці комплексної площини,
Дійсна частина і уявна частина мають вигляд
- ,
- .
А їх частинні похідні:
Ці частинні похідні співвідносяться таким чином:
- ,
- .
Дійсно функції та задовольняють умови Коші—Рімана: і .
У комплексному аналізі умови Коші—Рімана, які названі на честь Оґюстена Коші та Бернгарда Рімана, складаються із системи[en] двох диференціальних рівнянь з частинними похідними, які разом із певними критеріями неперервності та диференційовності утворюють необхідну та достатню умову голоморфності (комплексно диференційованості) комплекснозначної функції. Коші користувався цими співвідношеннями для побудови теорії функцій, починаючи з мемуару, представленого Паризькій академії наук в 1814 р. Ця система рівнянь вперше з'явилася в роботі Жана Лерона д'Аламбера.[1]. Пізніше Леонард Ейлер пов'язав цю систему з аналітичними функціями.[2] Потім Коші [3] використав ці рівняння для побудови своєї теорії функцій. У 1851 році з'явилася дисертація Рімана з теорії функцій.[4]
Умови Коші—Рімана є одним із способів поглянути на умову диференційності функції в сенсі комплексного аналізу: іншими словами, вони включають в себе поняття функції комплексної змінної за допомогою звичайного диференціального числення. У теорії існує декілька інших основних підходів до цього поняття, і часто необхідно інтерпретувати умови іншою мовою.
Більше інформації: Конформне відображення
По-перше, умови Коші—Рімана можна записати у комплексній формі
|
|
( ) |
У цій формі рівняння структурно відповідають умові, що матриця Якобі має вигляд
де та .
Матриця такого вигляду є матричним представленням комплексного числа.
Геометрично така матриця завжди є композицією обертання і масштабування і, зокрема, зберігає кути.
Якобіан функції бере нескінченно малі відрізки на перетині двох кривих у точці і повертає їх до відповідних відрізків у точці .
Отже, функція, що задовольняє умови Коші—Рімана, з ненульовою похідною, зберігає кут між кривими на площині.
Тобто умови Коші—Рімана є умовою конформності функції.
Більше того, оскільки композиція конформного перетворення з іншим конформним перетворенням також є конформним перетворенням, то конформне відображення переводить розв'язки рівнянь Коші—Рімана у розв'язки цих же рівнянь.
Таким чином, рівняння Коші—Рімана є конформно інваріантними.
Нехай
є функцією комплексної змінної . Тоді комплексна похідна від функції у точці визначається як
за умови існування цієї границі.
Якщо ця границя існує, то її можна обчислити, взявши границю при вздовж дійсної або уявної осі; в обох випадках це повинно дати однаковий результат.
Прямуючи вздовж дійсної осі, отримаємо
З іншого боку, прямуючи уздовж уявної осі,
Із рівності похідних функції вздовж двох осей отримаємо
які є рівняннями Коші—Рімана (2) у точці .
І навпаки, якщо є функцією, яка диференційована, якщо розглядати її як функцію на , то вона є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконуються умови Коші—Рімана.
Іншими словами, якщо і є дійснозначними диференційованими функціями двох дійсних змінних, тоді очевидно є (комплекснозначною) дійснозначною диференційованою функцією, але є комплексно диференційованою тоді й лише тоді, коли виконується умови Коші—Рімана.
Справді, слідуючи Рудіну,[5] нехай — комплексна функція, що визначена на відкритій множині .
Тоді, записавши для кожного , можна розглядати як відкриту підмножину , і як функцію двох дійсних змінних і , яка відображає у .
Розглянемо умови Коші—Рімана у точці .
Нехай функція є диференційованою у точці як функція двох дійсних змінних з в . Це еквівалентно існуванню наступного лінійного наближення
де та при . Оскільки і , то вищезазначене можна переписати як
Визначаючи дві похідні Віртінгера[en] як
при , рівність написану вище можна записати як
Тепер розглянемо потенційні значення , коли границя обчислюється в початку координат. Для вздовж дійсної осі маємо, що , а тому . Аналогічно для чисто уявного маємо, що , а тому значення не добре визначеним в початку координат. Легко перевірити, що не є добре визначеним при будь-якому значенні . Звідси функція є комплексно диференційованою в точці тоді й лише тоді, коли у точці . Але це в точності є умовами Коші—Рімана, а тому функція диференційована в точці тоді й лише тоді, коли в точці виконуються умови Коші—Рімана.
Наведене вище доведення пропонує іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана. Комплексно спряжене для числа , позначається як , визначається як
для дійсних та . Умови Коші—Рімана тоді можна записати як одне рівняння
|
|
( ) |
використовуючи похідну Віртінгера відносно спряженої змінної[en]. У цій формі умови Коші—Рімана можна інтерпретувати як твердження, що функція є незалежною від змінної . Таким чином, можна розглядати аналітичні функції як істинні функції однієї комплексної змінної, а не комплексні функції двох дійсних змінних.
Стандартна фізична інтерпретація умов Коші—Рімана, що бере свій початок з роботи Рімана по теорії функцій,[6] полягає в тому, що функція є потенціалом швидкості[en] нестисної стаціонарної течії рідини на площині, а — функція току[en]. Нехай пара (двічі неперервно диференційованих) функцій , задовольняє умови Коші—Рімана. Розглянемо функцію як потенціал швидкості, це означає, що уявляємо течію рідини на площині так, що вектор швидкості рідини в кожній точці цієї площини дорівнює градієнту функції , визначеному як
Диференціюючи умови Коші—Рімана вдруге, можна побачити, що функція є розв'язком рівняння Лапласа:
Тобто — гармонічна функція.
Це означає, що дивергенція градієнта дорівнює нулю, а отже, рідина нестисна.
З аналогічних міркувань функція також задовольняє рівняння Лапласа.
Крім того, з умов Коші—Рімана випливає, що скалярний добуток градієнтів функцій та дорівнює нулю, тобто .
Це означає, що градієнт функції має вказувати на криві ;
отже, це лінії току течії.
Криві є еквіпотенціальними кривими течії.
Отже, голоморфну функцію можна візуалізувати, побудувавши графік двох сімейств кривих рівнів і .
Поблизу точок, де градієнт функції (або, еквівалентно, функції ) не дорівнює нулю, ці сім'ї утворюють ортогональне сімейство кривих.
У точках, де (стаціонарні точки течії), еквіпотенціальні криві для перетинаються.
Лінії току також перетинаються в цій самій точці, ділячи навпіл кути, що утворені еквіпотенціальними кривими.
Іншу інтерпретацію умов Коші—Рімана можна знайти в книзі Поя та Сего.[7]. Нехай функції і задовольняють умови Коші—Рімана у відкритій підмножині , розглянемо векторне поле
яке трактується як (дійсний) двокомпонентний вектор. Тоді друга умова Коші—Рімана (1b) стверджує, що вектор є безвихровим (його ротор дорівнює 0):
Перша умова Коші—Рімана (1a) стверджує, що задане векторне поле є соленоїдним (його дивергенція дорівнює 0):
Відповідно до теореми Гріна та теореми Остроградського таке поле обов'язково є потенціальним, тобто у ньому немає джерел або поглиначів, і має нульовий чистий потік через будь-яку відкриту область без дірок.
(Ці два спостереження поєднуються як дійсна та уявна частини в інтегральній теоремі Коші.)
У гідродинаміці таке векторне поле є потенціальною течією[en].[8]
У магнітостатиці такі векторні поля моделюють статичні магнітні поля в області площини, яка не містить струму.
В електростатиці вони моделюють статичні електричні поля в області площини, яка не містить електричного заряду.
Цю інтерпретацію можна еквівалентно переформулювати на мові диференціальних форм.
Пара функцій , задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли 1-форма одночасно замкнена[en] і козамкнена (гармонічна диференціальна форма).
Інше формулювання умов Коші—Рімана включає комплексну структуру[en] на площині, яка задана матрицею
Це комплексна структура в тому сенсі, що квадрат матриці є від'ємна одинична матриця: . Як і вище, якщо , — дві функції на площині, то покладемо
Матриця Якобі для функції — це матриця частинних похідних
Тоді пара функцій та задовольняє умови Коші—Рімана тоді й лише тоді, коли матриця комутує з матрицею .[9]
Ця інтерпретація корисна в симплектичній геометрії, де вона є початковою точкою для вивчення псевдоголоморфних кривих.
Інше представлення умов Коші—Рімана іноді виникають в інших системах координат. Якщо рівняння (1a) і (1b) виконуються для диференційованої пари функцій і , то
для будь-якої системи координат такої, що пара ортонормована[en] і додатно орієнтована. Як наслідок, зокрема, у системі координат заданій полярним представленням рівняння набувають вигляду
Об'єднавши їх в одне рівняння для функції , отримуємо
Неоднорідні умови Коші—Рімана складаються з двох рівнянь для пари невідомих функцій і двох дійсних змінних
для деяких заданих функцій і , що визначені у відкритій підмножині в . Ці рівняння зазвичай об'єднують в одне рівняння
де і .
Якщо функція є неперервно диференціовною функцією порядку (гладкою функцією порядку ), то неоднорідне рівняння явно розв'язується в будь-якій обмеженій області за умови, що функція є неперервною на замиканні області .
Дійсно, за інтегральною формулою Коші
для всіх .
Дивись також: Теорема Коші—Гурса
Нехай — комплекснозначна функція, яка диференційована як функція . Тоді теорема Гурса[en] стверджує, що функція є аналітичною у відкритій комплексній області тоді й лише тоді, коли вона задовольняє умови Коші —Рімана в області.[10] Зокрема, не потрібно вимагати неперервну диференційованість функції .[11] Умови теореми Гурса[en] можна значно послабити. Якщо функція є неперервною на відкритій множині частинні похідні від функції за змінними і існують на множині і задовольняють умови Коші—Рімана на всій множині , то функція є голоморфною (і, отже, аналітичною). Це результат теореми Лумана—Меньшова.
Умова, що функція задовольняє умови Коші—Рімана на усій області , є суттєвою. Можна побудувати неперервну функцію, яка задовольняє умови Коші—Рімана в точці, але не є аналітичною в цій точці (наприклад, . Так само, крім умов Коші—Рімана, необхідні деякі додаткові припущення (наприклад, неперервність), як ілюструє наступний приклад[12]
Функція скрізь задовольняє умови Коші—Рімана, але не є неперервною у точці .
Тим не менш, якщо функція задовольняє умови Коші—Рімана на відкритій множині в слабкому сенсі, то функція є аналітичною. Точніше:[13]
Якщо функція локально інтегрована на відкритій області і слабо задовольняє умови Коші—Рімана, то функція майже скрізь співпадає з аналітичною функцією на області .
Фактично це частинний випадок більш загального результату про регулярність розв'язків гіпоеліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними.
Існують належним чином узагальнені умови Коші—Рімана і в теорії функцій кількох комплексних змінних[en]. Вони утворюють суттєво перевизначену систему[en] диференціальних рівнянь з частинними похідними. Це робиться з використанням прямого узагальнення похідної Віртінгера[en], де розглянута функція повинна мати (частинну) похідну Віртінгера відносно кожної комплексної змінної, яка дорівнює нулю.
Як зазвичай формулюють, d-bar оператор[en] анулює голоморфні функції. Це безпосередньо узагальнює формулювання
де
З точки зору спряжених гармонічних функцій[en] умови Коші—Рімана є простим прикладом перетворення Беклунда. Більш складні, у загальному випадку нелінійні перетворення Беклунда, такі як рівняння синус-Ґордона, представляють значний інтерес у теорії солітонів та інтегрованих систем.
В алгебрі Кліффорда комплексне число представляється як , де . Оператор фундаментальної похідної в алгебрі Кліффорда комплексних чисел визначається як . Функція вважається аналітичною тоді й лише тоді, коли , або у розгорнутому вигляді:
Після перегрупування отримаємо
Звідси, у традиційних позначеннях:
Нехай — відкрита множина в евклідовому просторі . Рівняння для відображення, що зберігає орієнтацію, є конформним відображенням (тобто таке що зберігає кути), якщо
де — матриця Якобі, — трансформована матриця Якобі, — одинична матриця.[14] У випадку ця система еквівалентна стандартним умовам Коші—Рімана для комплексних змінних, а розв'язки цих умов є голоморфними функціями. У розмірності ці умови все ще іноді називають системою Коші—Рімана, і з теореми Ліувіля випливає, за відповідних припущень про гладкість, що будь-яке таке відображення є перетворенням Мебіуса.
- ↑ d'Alembert, Jean (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris: David l'aîné. Reprint 2018 by Hachette Livre-BNF ISBN 978-2012542839.
- ↑ Euler, Leonhard (1797). Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 10: 3–19.
- ↑ Cauchy, Augustin L. (1814). Mémoire sur les intégrales définies. Oeuvres complètes Ser. 1. Vol. 1. Paris (published 1882). pp. 319–506.
- ↑ Riemann, Bernhard (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse. In H. Weber (ed.). Riemann's gesammelte math. Werke (in German). Dover (published 1953). pp. 3–48.
- ↑ Rudin 1966.
- ↑ Див. Klein, Felix (1893). On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals. Translated by Frances Hardcastle. Cambridge: MacMillan and Bowes.
- ↑ Pólya, George; Szegő, Gábor (1978). Problems and theorems in analysis I. Springer. ISBN 3-540-63640-4.
- ↑ Chanson, H. (2007). "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange" [Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution]. Journal la Houille Blanche. 5: 127–131. doi:10.1051/lhb:2007072. ISSN 0018-6368. S2CID 110258050.
- ↑ Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1969). Foundations of differential geometry, volume 2. Wiley. Proposition IX.2.2.
- ↑ Rudin 1966, Theorem 11.2
- ↑ Dieudonné, Jean Alexandre (1969). Foundations of modern analysis. Academic Press. §9.10, Ex. 1.
- ↑ Looman 1923, p. 107.
- ↑ Gray & Morris 1978, Theorem 9.
- ↑ Iwaniec, T.; Martin, G. (2001). Geometric function theory and non-linear analysis. Oxford. p.~32.
- Gray, J. D.; Morris, S. A. (April 1978). When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?. The American Mathematical Monthly. 85 (4): 246—256. doi:10.2307/2321164. JSTOR 2321164.
- Looman, H. (1923). Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten (нім.): 97—108.
- Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1987). ISBN 0-07-054234-1.
- Ahlfors, Lars (1953). Complex analysis (вид. 3rd). McGraw Hill (опубліковано опубліковано 1979). ISBN 0-07-000657-1.
- Solomentsev, E.D. (2001). Cauchy–Riemann conditions. У Hazewinkel, Michiel. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Stewart, Ian; Tall, David (1983). Complex Analysis (вид. 1st). CUP (опубліковано опубліковано 1984). ISBN 0-521-28763-4.
- Weisstein, Eric W. Cauchy–Riemann Equations(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews