Алгебричний многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Алгебраїчний многовид)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В алгебричній геометрії алгебричний многовидмножина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

[ред. | ред. код]

Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди, проєктивні многовиди і квазі-проєктивні многовиди.

Афінні многовиди

[ред. | ред. код]

Нехай є алгебрично замкнуте поле і n-вимірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:

Підмножина , множини називається афінною алгебричною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для нехай ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.

Для будь-якої алгебричної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.

Проєктивні многовиди

[ред. | ред. код]

Нехай — n-вимірний проєктивний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

Підмножина , множини називається проєктивною алгебричною множиною, якщо для деякої . Непорожня проєктивна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проєктивні алгебричні множини називаються проєктивними алгебричними многовидами, або просто проєктивними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проєктивної алгебричної множини фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

[ред. | ред. код]
  • Афінна алгебрична множина є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
  • Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]

Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій [Архівовано 22 травня 2011 у Wayback Machine.]

Література

[ред. | ред. код]